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En `F33f`_`[mathématiques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Mathématiques]`_`f, plus précisément en `F33f`_`[géométrie vectorielle euclidienne`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Calcul_vectoriel_en_géométrie_euclidienne]`_`f, la `!relation de Chasles`! est une `F33f`_`[relation`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Relation_(mathématiques)]`_`f permettant d'additionner deux `F33f`_`[vecteurs`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Vecteur]`_`f dans un `F33f`_`[espace affine`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Espace_affine]`_`f. Par extension, elle peut aussi être utilisée en `F33f`_`[géométrie plane`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Géométrie_plane]`_`f, en `F33f`_`[intégration`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Intégration_(mathématiques)]`_`f, en `F33f`_`[analyse complexe`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Analyse_complexe]`_`f, etc.
Son nom vient de `F33f`_`[Michel Chasles`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Michel_Chasles]`_`f, un mathématicien français du XIXe siècle, dont les travaux en `F33f`_`[géométrie`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Géométrie]`_`f ont contribué à son adoption dans le monde francophone`:cite-ref-1[`F5bf`_`[note 1`#cite-note-1]`_`f].
>>Contents
• `F0af`_`[Calcul vectoriel`#calcul-vectoriel]`_`f
• `F0af`_`[Angles orientés`#angles-orient-s]`_`f
• `F0af`_`[Mesures algébriques`#mesures-alg-briques]`_`f
• `F0af`_`[Intégration`#int-gration]`_`f
• `F0af`_`[Somme`#somme]`_`f
• `F0af`_`[Rapport anharmonique`#rapport-anharmonique]`_`f
• `F0af`_`[Notes`#notes]`_`f
• `F0af`_`[Bibliographie`#bibliographie]`_`f
-─
>>Calcul vectoriel
La relation de Chasles permet de calculer la `F33f`_`[somme`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Somme_vectorielle]`_`f de deux vecteurs dans un espace affine, quand l'extrémité du premier est choisie égale à l'origine du second. Elle s'énonce de la manière suivante.
Pour tous `F33f`_`[points`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Point_(géométrie)]`_`f `*A`*, `*B`* et `*C`* d'un espace affine, on a :
A
B
→
→
+
B
C
→
→
=
A
C
→
→
.
{\\displaystyle {\\overrightarrow {AB}}+{\\overrightarrow {BC}}={\\overrightarrow {AC}}.}
Cette `F33f`_`[identité`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Identité_(mathématiques)]`_`f signifie que la `F33f`_`[translation`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Translation_(géométrie)]`_`f du point `*A`* vers le point `*C`* peut être réalisée en passant par un point quelconque `*B`*. La translation de vecteur A C → → {\\displaystyle {\\overrightarrow {AC}}} est ainsi la `F33f`_`[composée`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Composition_de_fonctions]`_`f de deux translations : celle de vecteur A B → → {\\displaystyle {\\overrightarrow {AB}}} et celle de vecteur B C → → . {\\displaystyle {\\overrightarrow {BC}}.}
>>Angles orientés
On retrouve aussi cette propriété pour décrire une relation entre des `F33f`_`[angles orientés`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Angle]`_`f en `F33f`_`[géométrie plane`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Géométrie_plane]`_`f.
Pour tous vecteurs u → → , v → → , w → → {\\displaystyle {\\vec {u}},{\\vec {v}},{\\vec {w}}} non nuls, on a :
(
u
→
→
,
v
→
→
^
^
)
+
(
v
→
→
,
w
→
→
^
^
)
=
(
u
→
→
,
w
→
→
^
^
)
.
{\\displaystyle ({\\widehat {{\\vec {u}},{\\vec {v}}}})+({\\widehat {{\\vec {v}},{\\vec {w}}}})=({\\widehat {{\\vec {u}},{\\vec {w}}}}).}
>>Mesures algébriques
On trouve aussi cette propriété pour exprimer des `F33f`_`[mesures algébriques`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Mesure_algébrique]`_`f sur une `F33f`_`[droite orientée`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Orientation_(mathématiques)]`_`f.
Pour tous points `*A`*, `*B`* et `*C`* d'une droite orientée, on a :
A
B
¯
¯
+
B
C
¯
¯
=
A
C
¯
¯
.
{\\displaystyle {\\overline {AB}}+{\\overline {BC}}={\\overline {AC}}.}
>>Intégration
Il existe aussi une relation de Chasles en `F33f`_`[calcul intégral`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Intégration_(mathématiques)]`_`f.
Si `*f`* est une fonction intégrable sur un intervalle `*I`*, alors pour tous `*a`*, `*b`* et `*c`* dans `*I`*, on a :
∫
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
∫
b
c
f
(
x
)
d
x
=
∫
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
.
{\\displaystyle \\int _{a}^{b}{f(x)\\mathrm {d} x}+\\int _{b}^{c}{f(x)\\mathrm {d} x}=\\int _{a}^{c}{f(x)\\mathrm {d} x}.}
>>Somme
Dans le cas de `F33f`_`[sommes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Somme_(arithmétique)]`_`f, on dispose d'une relation analogue au cas de l'intégration, à ceci près que la deuxième somme débute au rang `*suivant`* la fin de la première (et non pas au même rang).
Plus formellement, pour tous `F33f`_`[entiers naturels`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Entier_naturel]`_`f `*m`*, `*n`* et `*p`* tels que `*m`* ≤ `*n`* < p, on a :
∑
∑
k
=
m
n
x
k
+
∑
∑
k
=
n
+
1
p
x
k
=
∑
∑
k
=
m
p
x
k
.
{\\displaystyle \\sum _{k=m}^{n}{x_{k}}+\\sum _{k=n+1}^{p}{x_{k}}=\\sum _{k=m}^{p}{x_{k}}.}
>>Rapport anharmonique
Par extension, il existe également une relation de Chasles multiplicative (et non pas additive comme l'originale) pour le `F33f`_`[rapport anharmonique`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Rapport_anharmonique]`_`f de `F33f`_`[nombres complexes`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Nombres_complexes]`_`f.
Si l'on note (`*a`*, `*b`* ; `*c`*, `*d`*) le rapport anharmonique des quatre nombres complexes `*a`*, `*b`*, `*c`* et `*d`*, alors pour tous nombres complexes `*a`*, `*b`*, `*c`*, `*d`* et `*e`* deux à deux distincts, on a :
(
a
,
b
;
c
,
d
)
×
×
(
a
,
b
;
d
,
e
)
=
(
a
,
b
;
c
,
e
)
.
{\\displaystyle (a,b~;~c,d)\\times (a,b~;~d,e)=(a,b~;~c,e).}
>>Notes
`:cite-note-1`!note 1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Dans le monde anglophone, cette relation fait partie des axiomes de base de la géométrie vectorielle et n'est pas rattachée au nom de Chasles. `F33f`_`[Nomizu et Sasaki`#nomizusasaki2008]`_`f l'intègrent aux axiomes de Weyl (voir « Affine space » sur le Wikipédia anglais).
>>Bibliographie
• `:nomizusasaki2008`a`:katsumi-nomizutakeshi-sasaki2008`aKatsumi Nomizu et Takeshi Sasaki, Affine Differential Geometry, vol. 111, `F33f`_`[Cambridge University Press`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=Cambridge_University_Press]`_`f, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics », 2008, 280 p. (`F33f`_`[ISBN`:/page/wikibook/entry.mu`zim=wikipedia_fr_all_nopic_2025-10.zim|entry_path=International_Standard_Book_Number]`_`f 978-0-521-06439-2, présentation en ligne).
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